Линейная зависимость базис размерность замена базиса. Существование базиса векторного пространства Дополнить базис до базиса

Пусть V векторное пространство над полем Р , S - система векторов из V .

Определение 1. Базисом системы векторов S называется такая упорядоченная линейно независимая подсистема B 1, B 2, ..., B R системы S , что любой вектор системы S линейная комбинация векторов B 1, B 2, ..., B R .

Определение 2. Рангом системы векторов S называется число векторов базиса системы S . Обозначается ранг системы векторов S символом R = rangS .

Если S = {0 }, то система не имеет базиса и предполагается, что rangS = 0.

Пример 1. Пусть дана система векторов A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1,3). Вектора A 1 , A 2 образуют базис данной системы, так как они линейно независимы (см. пример 3.1) и A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2 . Ранг данной системы векторов равен двум.

Теорема 1 (теорема о базисах). Пусть S - конечная система векторов из V , S ≠{0 }. Тогда справедливы утверждения.

1 ° Любую линейно независимую подсистему системы S можно дополнить до базиса.

2 ° Система S обладает базисом.

2 ° Любые два базиса системы S содержат одинаковое число векторов, т. е. ранг системы не зависит от выбора базиса.

4 ° Если R = rangS , то любые r линейно независимых векторов образуют базис системы S.

5 ° Если R = rangS , То любые k > r векторов системы S линейно зависимы.

6 ° Любой вектор A € S единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т. е., если B 1, B 2, ..., B R базис системы S, то

A = A 1 B 1 + A 2 B 2 +...+ A R B R ; A 1 , A 2 , ..., A N € P, (1)

И такое представление единственно .

В силу 5° базис это Максимально линейно независимая подсистема системы S , а ранг системы S число векторов в такой подсистеме.

Представление вектора A в виде (1) называется Разложением вектора по векторам базиса , а числа a1, a2, ..., ar называются Координатами вектора A В данном базисе.

Доказательство. 1° Пусть B 1, B 2, ..., B K - линейно независимая подсистема системы S . Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора нашей подсистемы, то по определению она является базисом системы S .

Если имеется вектор в системеS , который линейно не выражается через вектора B 1, B 2, ..., B K , то обозначим его через B K +1 . Тогда системы B 1, B 2, ..., B K , B K +1 - линейно независима. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора этой подсистемы, то по определению она является базисом системы S .

Если имеется вектор в системеS , который линейно не выражается через B 1, B 2, ..., B K , B K +1, то повторим рассуждения. Продолжая этот процесс, мы либо придем к базису системы S , либо увеличим число векторов в линейно независимой системе на единицу. Так как в системеS конечное число векторов, то вторая альтернатива не может продолжаться бесконечно и на некотором шаге получим базис системыS .

2° Пусть S конечная система векторов и S ≠{0 }. Тогда в системе S есть вектор B 1 ≠ 0, который образует линейно независимую подсистему системы S . По первой части его можно дополнить до базиса системы S . Таким образом системаS обладает базисом.

3° Допустим, что система S имеет два базиса:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

По определению базиса система векторов (2) линейно независима и (2) Í S . Далее по определению базиса каждый вектор системы (2) линейная комбинация векторов системы (3). Тогда по основной теореме о двух системах векторов R £ S . Аналогично доказавается, что S £ R . Из этих двух неравенств следует R = S .

4° Пусть R = rangS , A 1, A 2, ..., A R - линейно независимая подсистема S . Покажем, что она является базисом систем S . Если она не является базисом, то по первой части ее можно дополнить до базиса и получим базис A 1, A 2, ..., A R , A R +1,..., A R +T , содержащий более чем R

5° Если K векторов A 1, A 2, ..., A K (K > R ) системы S - линейно независимы, то по первой части эту систему векторов можно дополнить до базиса и получим базис A 1, A 2, ..., A K , A K +1,..., A K +T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

6° Пусть B 1, B 2, ..., B R базис системы S . По определению базиса любой вектор A € S есть линейная комбинация векторов базиса:

A = a1B 1 + a2B 2 +...+ arB R.

Доказывая единственность такого представления допустим противное, что есть еще одно представление:

A = b1B 1 + b2B 2 +...+ brB R.

Вычитая равенства почленно находим

0 = (a1 - b1)B 1 + (a2 - b2)B 2 +...+ (ar - br)B R.

Так как базис B 1, B 2, ..., B R линейно независимая система, то все коэффициенты ai - bi =0; I = 1, 2, ..., R . Следовательно, ai = bi ; I = 1, 2, ..., R и единственность доказана.

Определение. Система элементов хь..., хч линейного пространства V называется линейно зависимой, если найдутся числа а»,..., otq, не все равные нулю и такие, что Если равенство (1) выполняется только при а] = ... = aq = 0, то система элементов xj,..., х9 называется линейно независимой. Справедливы следующие утверждения. Теорема 1. Система элементов Х\,..., xq (q ^ 2) линейно зависима в том и только в том случае, если хотя бы один из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных. Предположим сначала, что система элементов хь..., xq линейно зависима. Будем считать для определенности, что в равенстве (1) отличен от нуля коэффициент а9. Перенося все слагаемые, кроме последнего, в правую часть, после деления на otq Ф О получим, что элементxq является линейной комбинацией элементов xi,..., xq: Обратно, если один из элементов равен линейной комбинации остальных, то, перенося его в левую часть, получим линейную комбинацию в которой есть отличные от нуля коэффициенты (-1 Ф 0). Значит, система элементов Xi,_____ xq линейно зависима. Теорема 2. Пусть система элементов Х|,...,Х9 линейно независима и у = а\Х\ + .+ aqxq. Тогда коэффициенты ori,... ,aq определяются по элементу у единственным образом. м Пусть Тогда Линейная зависимость Базис Размерность Замена базиса откуда. Из линейной независимости элементов Х|,..., xq вытекает, что а{ и, значит, а Теорема 3. Система элементов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима. " Пусть первые q элементов системы хь... , xq, xg+l,... , хт линейно зависимы. Тогда найдется линейная комбинация этих элементов такая, что и не все коэффициенты от»,..., aq равны нулю. Добавляя элементы,..., хт с нулевыми множителями, получаем, что и в линейной комбинации рис-5 равны нулю не все коэффициенты. Пример. Векторы из Vj линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (рис.5). Упорядоченная система элементов в|,..., е„ линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства, если элементы в|,..., еп линейно независимы и каждый элемент из V можно представить в виде их линейной комбинации. Упорядоченность означает здесь, что каждому элементу приписан определенный (порядковый) номер. Из одной системы п элементов можно построить п! упорядоченных систем. Пример, Пусть а.Ь.с - тройка некомпланарных векторов из Vj (рис.6). Тогда упорядоченные тройки - различные базисы Пусть с = (в! ... еп) - базис пространства V. Тогда для любого элемента х из V найдется набор чисел..., С такой, что В силу теоремы 2 числа,..., С - координаты элемента х в базисе с - определены однозначно. Посмотрим, что происходит с координатами элементов при простейшихдействиях сними. Пусть и дл я любого числа а Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число все его координаты умножаются на это число. Координаты элементачасто удобно записывать в виде столбца. Например, п - координатный столбец элемента в базисе с. Разложим произвольную систему элементов Х|,..., х, по базису с, и рассмотрим координатные столбцы элементов Х|,..., х9 в этом базисе: Теорема 4. Система элементов х\,... ,xq линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе. * Пусть причем хотя бы один из коэффициентов А* отличен от нуля. Запишем это подробнее Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что Линейная зависимость Базис Размерность Замена базиса Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов xt,..., xq равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами А|,..., А?). Это и означает, что система координатных столбцов линейно зависима. Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке, получаем формулу (1). Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столбцов (с теми же коэффициентами) равна нулевому столбцу. Теорема 5. Пусть базис с линейного пространства V состоит из п элементов. Тогда всякая система из т элементов, где т > п, линейно зависима. или, что тоже, * В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай Пусть Xj,..., хп+| - произвольные элементы пространства V. Разложим каждый элемент по базису с и запишем координаты элементов........... в виде матрицы, отводя столбец координатам элемента. Получим матрицу из п строк ип+1 столбцов - Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа п ее строк, столбцы матрицы К (их п + 1) линейно зависимы. А так как это координатные столбцы элементов, то согласно теореме 4 система элементов Х|.....х„+| также линейно зависима. Следствие. Все базисы линейного пространства V состоят из одинакового чиыа элементов. Пусть базис с состоит из п элементов, а базис с" из п элементов. В силу только что доказанной теоремы из линейной независимости системы е\,..., е"п заключаем, что п" ^ п. Меняя базисы е и с" местами, в силу этой же теоремы получаем, что п ^ п". Тем самым, п = п. Лшкрность/олинейногопространства V называется число элементов базиса этого пространства. Пример 1. Базис координатного пространства Еп образуют элементы 4 Система элементов ei.ej,... ,еп линейно независима: из равенства получаем, что и значит, Кроме того, любой элемент Е, = ...из R" можно записать в виде линейной комбинации элементов Тем самым, размерность пространства R равна п. Пример 2. Однородная линейная система имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного пространства равна числу элементов ФСР, т.е. п - г. где г - ранг матрицы коэффициентов однородной системы, an - число неизвестных. Пример 3. Размерность линейного пространства Мп многочленов степени не выше п равна п + 1. 4 Так как всякий многочлен /*(() степени не выше п имеет вид то достаточно показать линейную независимость элементов в| =. Рассмотрим равенство где t произвольно. Полагая t = 0, получаем, что «о = 0. 5 Зак.750 Продифференцируем равенство (3) по t: Вновь ПОЛОЖИВ t = 0, получим, ЧТО 0| = 0. Продолжая этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что оо = «I = ... = а„ =0. Это. означает, что система элементов в| = 1,... ,еп4) = *п линейно независима. Следовательно, искомая размерность равна п + 1. Соглашение. Далее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что размерность линейного пространства V равная. Ясно, что если W - подпространство n-мерного линейного пространства V, то dim W ^ п. Покажем, что в п-мерном линейном пространстве V есть линейные подпространства любой размерности к ^ п. Пусть с = - базис пространства V. Легко убедиться втом, чтолинейная оболочка имеет размерность к. По определению Теорема б (о пополнении базиса). Пустьсистема элементов линейного пространства V размерности п линейно независима и к. Тогда в пространстве V найдутся элементы а*+1,... , ап такие, что система а„ - базис V. М Пусть b - произвольный элемент линейного пространства V. Если система линейно зависима, то ^так как в нетривиальной линейной комбинации коэффициент вследствие линейной независимости системы a Если бы разложение вида (4) можно было бы написать для любого элемента b пространства V, то исходная система а|,..., а* была бы базисом согласно определению. Но в силу условия это невозможно. Поэтому должен существовать элемент a*+i € V такой, что пополненная система ai,..., аь,а*+| будет л иней но независимой. Если к + 1 = п, то эта система - базис пространства V. Если к + 1, то для системы a следует повторить предыдущие рассуждения. Таким способом любую заданную линейно независимую систему элементов можно достроить до базиса всего пространства V. Пример. Дополнить систему из двух векторов а| = (1,2,0,1), aj = (-1,1.1,0) пространства R4 до базиса этого пространства. М Возьмем в пространстве R4 векторы aj = (и покажем, что система векторов ai.aj.aj, а4 - базис R4. Ранг матрицы строками которой являются координаты векторов ааг, аз, Э4, равен четырем. Это означает, что строки матрицы А, а, значит, и векторы at. аг. аз, а^ линейно независимы. > Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему к линейно независимых элементов до базиса пространства, матрица Линейная зависимость Базис Размерность Замена базиса элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а затем дополняется п - к строками вида так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п. Справедливо следующее утверждение. Теорема 7. Пусть - линейные подпространства линейного пространства V, Тогда. Замена базиса Пусть - базисы линейного пространства V. Разложим элементы базиса с по базису с. Имеем Эти соотношения удобно записать в матричной форме Матрица называется матрицей перехода от базиса с к базису с". Свойства матрицы перехода Доказательство этого свойства проводится от противного. Из равенства det S = 0 вытекает линейная зависимость столбцов матрицы S. Эти столбцы являются координатными столбцами элементове",... »е"п в базисе с. Поэтому (и вследствие теоремы 4) элементы е"и..., е"п должны быть линейно зависимыми. Последнее противоречит тому, что с" - базис. Значит, допущение, что det S = 0, неверно. 2. Если..., и..., - координаты элемента х в базисах с и с" соответственно, то _ Заменяя в формуле их выражениями (1), получаем, что Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем I Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости свойства 2. 3. S-1 - матрица перехода от базиса с" к базису с.

Называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.

Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что такого пространства вообще существует. Все ранее полученные были получены в предположении, что базис существует. Следующая закрывает этот вопрос.

Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.)

Любое конечномерное векторное пространство обладает базисом.

Доказательство. По условию существует конечная порождающая система данного конечномерного векторного пространства V: .

Заметим сразу же, что если порождающая система векторов является пустой, т.е. не содержит ни одного вектора, то по определению полагают, что данное векторное пространство является нулевым, т.е. . В этом случае по определению полагают, что базисом нулевого векторного пространства является пустой базис и его по определению полагают равной нулю.

Если эта система независимая, то все доказано, т.к. линейно независимая и порождающая система векторов векторного пространства является его базисом.

Если же данная система векторов является линейно зависимой, то один из векторов этой системы линейно выражается через оставшиеся и его можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов, будет по-прежнему порождающей.

Перенумеруем оставшуюся систему векторов: . Далее рассуждения повторяются.

Если эта система линейно независимая, то она является базисом. Если же нет, то снова найдется вектор в этой системе, который можно удалить, а оставшаяся система будет порождающей.

Повторяя этот процесс, мы не можем остаться с пустой системой векторов, т.к. в самом крайнем случае мы придем к порождающей системе из одного ненулевого вектора, которая является линейно независимой, а, следовательно, базисом. Поэтому, на каком-то шаге мы приходим к линейно независимой и порождающей системе векторов, т.е. к базису, ч.т.д.

Теорема доказана.

Лемма. (О системах векторов в n-мерном векторном пространстве.)

Пусть . Тогда:

1. Любая система из вектора является линейно зависимой.

2. Любая линейно независимая система из векторов является его базисом.

Доказательство. 1). По условию леммы, число векторов в базисе равно и базис является порождающей системой, поэтому число векторов в любой линейно независимой системе не может превосходить , т.е. любая система содержащая вектор является линейно зависимой.

2). Как следует из только что доказанного, любая линейно независимая система из векторов этого векторного пространства является максимальной, а следовательно, базисом.

Лемма доказана.

Теорема (О дополнении до базиса.) Любая линейно независимая система векторов векторного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства.

Доказательство. Пусть векторное пространство размерности n и некоторая линейно независимая система его векторов. Тогда .

Если , то по предыдущей лемме, эта система является базисом и доказывать нечего.

Если же , тогда данная система является не максимальной независимой системой (иначе она была бы базисом, что невозможно, т.к. ). Следовательно, найдется вектор , такой, что система – линейно независимая.

Если, теперь , то система является базисом.

Если же , все повторяется. Процесс пополнения системы не может продолжаться бесконечно, т.к. на каждом шаге мы получаем линейно независимую систему векторов пространства , а по предыдущей лемме число векторов в такой системе не может превышать размерности пространства. Следовательно, на каком-то шаге мы придем к базису данного пространства., ч.т.д.

Определение. Базис

арифметического векторного пространства столбцов высоты n называется каноническим или естественным.